向量空间与子空间

定义

向量空间：该空间内的任意向量与该空间内的向量之和，以及该空间内的任意向量与任意标量的积的结果所得到的向量都在该控件内，则该空间为向量空间，这个性质又被称之为线性运算的封闭性，前者称为加法封闭，后者称为乘法封闭 例如：R²就是一个向量空间，它表示一个二维平面

子空间：又名线型子空间，向量子空间，一个向量空间中所包含的比它小的向量空间（也就是要符合向量空间的规则）就是这个向量空间的子空间。向量空间本身也算它的子空间。 例如：R²中一条经过原点的直线，这条直线就是R²的子空间。

性质

任意向量空间的并集不一定是向量空间，但是任意向量空间的交集一定是向量空间

列空间

定义

当我们希望用矩阵来表示一个向量空间的时候，就需要使用到列空间，假设我们有一个四维矩阵 $\left[ \begin{matrix} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5 \end{matrix} \right ]$ 矩阵中的每一列都可以作为一个四维空间中的列向量，那么由矩阵中所有列向量在该空间中进行线性运算所得到的所有向量组成的子空间，就是这个矩阵的列空间。

性质

$设线性方程Ax=b，A为一个m*n维的矩阵，该等式展开如下$ $\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&\\ a_{31}&...&...\\ ...&...&a_{ij}\\ a_{m1}&a_{m2}&...&...&a_{mn} \end{matrix} \right ] * \left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_2\\ ...\\ x_n \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} b_{1}\\ b_2\\ ...\\ b_m \end{matrix} \right ] \\ 则Ax=b有非零解当且仅当b属于A的列空间$

零空间

零空间。零空间也是向量空间，它具有向量空间的所有性质。