资料来源： 概率论与数理统计公式整理 百度文库

联合分布律

离散型

设$ε(x,y)$所有可能取值为$(x_i,y_j)(i,j=1,2...)$，且事件$\{ε=(x_i,y_j)\}$的概率为$p_{ij}$，称：

为ε=(X,Y)的分布律，或称为X和Y的联合分布律。联合分布律有时也用下面的概率分布表来表示：

这里$p_{ij}$具有下面两个性质：

1. $$p_{ij}≥0(i,j=1,2...)$$
2. $$\sum_i\sum_jp_{ij}=1$$

连续型

对于二维随机变量$ε=(X,Y)$如果存在非负函数$f(x,y)(-\infty < x < +\infty ,-\infty < y < +\infty)$ 使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即

有

则称ε为连续型随机变量；并称f(x,y)为ε=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

二维联合分布密度具有下面两个性质：

1. $$f(x,y)≥0$$
2. $$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy = 1$$

二维随机变量的本质

联合分布函数

定义

设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。它是

1. 以全平面为其定义域
2. 以事件$\{(ω_1,ω_2)\mid -\infty < X(ω_1) ≤ x ,-\infty < Y(ω_2) ≤ y\}$ 的概率为函数值

的一个实值函数。

性质

1. $$0 ≤ F(x,y) ≤ 1$$
2. F(x,y)分别对x和y是递增的，即当$x_2 > x_1时，有F(x_2,y) ≥F(x_1,y)，对y同理$
3. F(x,y)分别对x和y是右连续的，即 $F(x,y)=F(x+0,y)\\F(x,y)=F(x,y+0)$
4. 
5. 对于$x_1 < x_2,y_1 < y_2$有

离散型与连续型的关系

边缘分布

离散型

X的边缘分布为

Y的边缘分布为

连续型

X的边缘分布密度

Y的边缘分布密度

条件分布

离散型

已知$X=x_i$的条件下，Y取值的条件分布为

已知$Y=y_j$的条件下，X取值的条件分布

连续型

已知X=x的条件下Y的条件分布密度

已知Y=y，X的条件分布密度

独立性

一般型

离散型

有零则不独立

连续型

充要条件：

1. 可分离变量
2. 正概率密度区间为矩形

二维正态分布

随机变量的函数

若$X_1,X_2,,,X_m ,X_{m+1},,X_n$相互独立，h,g为连续函数，则：

特例：若X与Y独立，则h(X)和g(Y)独立。

二位均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中$S_D$为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为$(X,Y)\sim U(D)$

二维正态分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

其中是五个参数，则称(X,Y)服从二维正态分布。

记为

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即

但两个边缘分布是正态分布不代表联合分布就是正态分布。

函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

对于连续型， $f_Z(z)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,z-x)dx$

两个独立的正态分布的和仍为正态分布$(μ_1+μ_2,σ^2_1+σ^2_2)$

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布：

$Z=max,min(X_1,X_2,,,X_n)$

若$X_1,...,X_n$相互独立，其分布函数分别为$F_{X_1}(x)...F_{X_n}(x)$，则$Z=max,min(X_1,X_2,,,X_n)$的分布函数为