资料来源： 概率论与数理统计公式整理 百度文库

排列组合公式

$P^n_m = \frac{m!}{(m-n)!}$ 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数量

$C^n_m = =\frac{m!}{n!(m-n)!}$ 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数

加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）： m+n 某件事有两种方法完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法完成，则这件事可又m+n种方法完成。

*乘法原理（完成第一个步骤才能进行第二个步骤，要两个步骤才能完成此事，步骤顺序可以该变）： mn** 某件事由两个步骤完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法完成，则这件事可由m*n种方法完成

常见排列

重复排列和非重复排列 即从一箱小球中取球，根据每一次取出后是否放回决定是重复排列还是非重复排列。

对立事件 两个事件若为对立事件，那么至少有一个会发生，而一个事件发生的同时另外一个必然不发生。

随机试验和随机事件

随机试验的要求：

1. 每一次实验都在相同条件下进行
2. 结果是可知的
3. 实验可以重复进行

实验的可能结果称为随机事件。

基本事件，样本空间和事件

在一个实验中，具有如下性质的事件被称为基本事件：

1. 每进行一次实验，必须发生，且只能发生这一组中的一个事件
2. 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。

基本事件的全体称为实验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω为必然事件，Φ为不可能事件。 不可能事件（Φ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，但概率为1的事件也不一定是必然事件。

事件的关系与运算

关系

如果事件A是事件B的组成部分，（A发生则事件B必然发生）：A⊂B

如果同时有A⊂B，B⊂A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A = B

A，B中至少有一个发生的事件，则称A加B：A∪B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可以表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。

A，B同时发生：A∩B，或者 AB。

A∩B=Φ，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥不一定对立，但对立一定互斥。

运算

结合律：

• A（BC）=（AB）C
• A∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配律：

• （AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）
• （A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根律：

• $$\bar{A∪B}=\bar{A}∩\bar{B}$$
• $$\bar{A∩B}=\bar{A}∪\bar{B}$$
• $$\bar{∩}^\infty_{i=1}A_i = \bigcup^\infty_{i = 1}\bar{A}_i$$

概率的公理化定义

设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若P（A）满足下列三个条件：

1. 0≤P（A）≤1
2. P（Ω）=1
3. 对于两两互不相容的事件$A_1$,$A_2$…有 $P\left(\bigcup^\infty_{i=1}A_i\right)=\sum^\infty_{i=1}P(A_i)$ 亦称为有可列可加性。

则称P（A）为事件A的概率。

古典概型

定义：

1. $$Ω={ω_1,ω_2 ... ω_n}$$
2. $$P(ω_1)=P(ω_2)= ... P(ω_n)=\frac{1}{n}$$

性质：

设任一事件A，它是由$ω_1,ω_2...ω_m$组成的，则有 $P(A)={P(ω_1)∪P(ω_2)∪...∪P(ω_m)}=P(ω_1)+P(ω_2)+...+P(ω_m)=\frac{m}{n}=\frac{A所包含的基本事件数}{基本事件总数}$

几何概型

若随机实验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， $P(A)=\frac{L(A)}{L(Ω)}$ 其中L为几何度量（又称几何测度，包括长度，面积，体积等）

加法与减法公式

加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）— P（AB） 当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

减法公式

P ( A - B ) = P ( A ) - P ( AB ) 当B⊂A时，P ( A - B ) = P ( A ) - P（B） 当A=Ω时，P(B) = 1-P（B）

条件概率

定义： 设A，B是两个事件，且P（A）＞0，则称$\frac{P(AB)}{P(A)}$为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，记为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

条件概率是概率的一种，它同样符合概率的公理性定义，所有的概率性质都适合于条件概率。

乘法公式

P（AB）=P（A）P（B|A） 更一般的，对事件$A_1,A_2...A_n$，若$P(A_1A_2..A_n)>0$，则 $P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})$

独立性

两个事件的独立性

设事件A，B满足P（A|B）=P（A）或P（B|A）=P（B），则称事件A，B相互独立。 且P（AB）=P（A）P（B）

若事件A，B相互独立，则可得到$\bar{A}与B,A与\bar{B},\bar{A}与\bar{B}$也都相互独立。

必然事件Ω和不可能事件Φ与任何事件都相互独立。Φ与任何事件都互斥。

多个事件的独立性

设ABC是三个事件，若他们是两两独立： P(AB)=P(A)P(B) ; P(AC)=P(A)P(C) ; P(BC)=P(B)P(C)

若为相互独立，则： P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

全概公式

设事件$B_1,B_2,...,B_n$满足：

1. $B_1,B_2,...,B_n$互不相容，$P(B_i)>0(i=1,2,...,n)$
2. $$A\subset \bigcup^n_{i=1}B_i$$

则有： $P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+...+P(AB_n)$ $=P(A)P(B_1|A)+P(A)P(B_2|A)+...+P(A)P(B_i|A)$ $=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+...+P(B_i)P(A|B_i)$

贝叶斯公式

设事件$B_1,B_2,...,B_n与A$满足：

1. $B_1,B_2,...,B_n$互不相容，$P(B_i)>0(i=1,2,...,n)$
2. $$A\subset \bigcup^n_{i=1}B_i 且 P(A)>0$$

则有 $P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum^n_{j=1}P(B_j)P(A|B_j)},i=1,2,3,...,n$ 此公式即为贝叶斯公式。