资料来源： 概率论与数理统计公式整理 百度文库

概览图

随机变量的定义

设E的样本空间为Ω，对于每一个样本点ω∈Ω，都有唯一实数X(ω)与之对应，且对于任意实数x，事件${ω \mid X(ω) ≤ x}$都有确定的概率，则称X(ω)为++随机变量++，简记为X。

注：

1. $\{ω\mid X(ω)≤x\} = \{X≤x\} \subset Ω$，且使$P\{X≤x\}$ 总有意义
2. 随机变量X可理解为从样本空间Ω到实数集R的一个映射

分布函数

$设X是样本空间Ω上的随机变量，x是任意实数，称函数\\ F(x)=P\{X≤x\}=P\{ω|X(ω)≤x\}\\ 为随机变量X的分布函数，记为F（x）或F_x(x)$ 它本质上是一个累积函数。

$由分布函数的定义可知，分布函数F(x)表示随机变量X落入区间(a,b]的概率。\\ 因此可得等式P(a < X ≤ b)=F(b)-F(a)，$ 从而可以得到随机变量X落入区间 ( a , b ] 的概率。

性质

分布函数具有如下性质：

1. $$0≤F(x)≤1，-\infty < x < +\infty$$
2. $$F(x)是单调不减的函数，即x_1 < x_2时，有 F(x_1) ≤ F(x_2)$$
3. $$F(-\infty) = lim_{x->-\infty} F(x)=0,F(+\infty) = lim_{x->-\infty} F(x)=1$$
4. $$F(x)是右连续的$$
5. $$P(X=x)=F(x)-F(x_{-})$$
6. $$对于离散型随机变量,F(x)=\sum_{x_k≤x}p_k\\对于连续型随机变量，F(x)=\int^x_{-\infty}f(x)dx$$

离散型随机变量

定义

如果随机变量X只可能取有限个或至多可列个值，则称X为离散型随机变量。

分布律

$设离散型随机变量X的可能取值为X_k（k=1,2,...）且取各个值的概率，即事件A(X=X_k)的概率为\\ P（X=X_k）=p_k,k=1,2,...$ $则称上式为离散型随机变量X的概率分布或者分布率，有时也以分布列的形式给出：$

显然，分布律应满足下列条件：

1. $$p_k≥0,k=1,2,...$$
2. $$\sum^\infty_{k=1}p_k=1$$

分布律与分布函数的相互转化

离散型随机变量的分布函数常呈现为阶梯函数的形式，假设对一个离散型随机变量X有分布列：

连续型随机变量

定义

密度函数

$设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数X，有\\ F(x)=\int^x_{-\infty}f(x)dx\\ 则称X为连续随机变量。f(x)称为X的概率密度，或密度函数，简称概率密度$ 密度函数具有如下性质：

1. $$f(x) ≥ 0$$
2. $$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx=1$$

离散型随机变量的分布

两点分布

二项分布

二项分布又可称之为n重伯努利分布，表示多重二项分布的情况： $设一次试验中，事件A发生的概率为p，则不发生的概率为1-p，且事件A发生的次数为随机变量，设为X，则X的可能取值为0，1，2...，n,X=k的概率\\ P(X=k)=P_n(K)=C^k_{n}p^k(1-p)^{n-k}\\ 其中，0 < p < 1,k=0,1,2,...n\\ 则称随机变量服从参数为n，p的二项分布，记为X\~B（n，p）\\ $

泊松分布

设随即变量 X 的分布律为 $P(X=k)=\frac{λ^k}{k!}e^{-λ},λ > 0,k=0,1,2...$ 则称随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为 X ~ π （λ）或者 P(λ)。 泊松分布为二项分布 X~B（n，p） 的极限分布（np=λ ， n -> ∞）。

连续型随机变量的分布

均匀分布

设随机变量 X 的值仅落在 [ a , b ] 内，其密度函数 f(x) 在 [ a , b ] 上为常数 $\frac{1}{b-a}$，即 $f(x)= \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{b-a},&a≤x≤b\\ 0,&其它 \end{matrix} \right.$ 则称随机变量X在 [ a , b ] 上服从均匀分布，记为 X ~ U ( a , b )，其分布函数为： $F(x)=\int^x_{-\infty}f(x)dx= \left\{ \begin{matrix} 0,&x < a\\ \frac{x-a}{b-a},&a≤x≤b\\ 1，&x > b \end{matrix} \right.$ 当$a ≤ x_1 < x_2 ≤b$时，X落在区间$(x_1,x_2)$的概率为 $P(x_1 < X < x_2)=\frac{x_2-x_1}{b-a}$

指数分布

密度函数： $f(x)= \left\{ \begin{matrix} λe^{-x},&x≥0\\ 0,&x < 0 \end{matrix} \right.$ 其中λ > 0，则称随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布。 X 的分布函数为： $F(x)= \left\{ \begin{matrix} 1-λe^{-x},&x≥0\\ 0,&x < 0 \end{matrix} \right.$

备注：积分公式： $\int^{+\infty}_0 x^ne^{-x}dx=n!$

指数分布的无记忆性

如果随机变量 X 服从指数分布，那么有： $P(X>s+t|X>t)=P(X>s)$

正态分布（高斯分布）

定义

设随机变量X的密度函数为： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}, - \infty < x < +\infty$ 其中 μ、σ > 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 μ，σ 的正态分布，或高斯分布，记为 X ~ N (μ，σ²)。

性质

f(x) 具有如下性质：

1. f（x）的图形关于 x = μ 对称
2. 当 x = μ 的时候，$f(μ)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ}$为最大值。

若随机变量X服从 X ~ N (μ，σ²) 则X的分布函数为： $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ}\int^x_{-\infty}e^{-\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}}dt$

标准正态分布

参数 μ = 0、σ = 1 时的正态分布成为标准正态分布，记为 X ~ N (0，1)，其密度函数记为： $φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

分布函数为： $φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}\int^x_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$ φ(x) 为不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查询。

φ(-x) = 1 - φ(x) 且 φ(0) =$\frac{1}{2}$。

如果随机变量X符合 X ~ N (μ，σ²)，则它也符合 $\frac{X-μ}{σ}$~N(0,1)。