概率论随机变量的数字特征

资料来源：概率论与数理统计公式整理百度文库

一维随机变量的数字特征

期望

定义：期望就是加权平均值

符号：E(X)，表示以X为随机变量的期望

离散型

X是离散型随机变量，其分布律为

$P(X=x_k)=p_k,k=1,2,,,n$

则

$E(X)=\sum^n_{k=1}p_kx_k$

（要求绝对收敛）

连续型

设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),

$E(X)=\int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx$

（要求绝对收敛）

函数的期望

离散型

若Y=g(X)

$E(Y)=\sum^n_{k=1}g(x_k)p_k$

连续型

若Y=g(X)

$E(Y)=\int^{+\infty}_{-\infty}g(x)f(x)dx$

期望的性质

方差与标准差

方差

符号：D(X)

公式：

$D(X)=E[X-E(X)]^2$

标准差

符号：σ(X)

公式：

$σ(X)=\sqrt{D(X)}$

离散型

连续型

方差的性质

(1) $D(C)=0;E(C)=C$ (2) $D(aX)=a^2D(X)\\E(aX)=aE(X)$ (3) $D(aX+b)=a^2D(X)$ (4) $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$ (5) $D(X±Y)=D(X)+D(Y),\\充分条件：X和Y独立\\充要条件：X和Y不相关$ (6) $E(\sum^n_{i=1}S_i)=\sum^n_{i=1}E(X_i)\\D(\sum^n_{i=1}X_i)=$ $\sum^n_{i=1}D(X_i)+2\sum^n_{i=1,j > i}E\{ [X_i-E(X_i)] [X_j-E(X_j)] \}$

矩

离散型

对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为 $v_k$ ，即
对于正整数k，称随机变量与E(X)的差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 $μ_k$ ，即

连续型

对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为 $v_k$ ，即
对于正整数k，称随机变量与E(X)的差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 $μ_k$ ，即

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差 $D(X)=σ^2$ ，则对于任意整数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。

常见分布的期望和方差

二维随机变量的数字特征